1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参考解答及评分标准

说明:

    一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的

解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

    二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部

分的解答有较严重的错误,就不再给分.

    三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分.

满分65分.

     (1)C    (2)A    (3)D    (4)B     (5)C

     (6)D    (7)A    (8)D    (9)A     (10)C

     (11)B    (12)D    (13)C    (14)A     (15)B

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

　(16)4    (17)32    (18)    (19)/4    

三.解答题

(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力,满分11分.

        解:(Ⅰ)当a>1时,原不等式等价于不等式组:

　　　　　

       　　　解得    x>2a-1.   　　 5分

            (Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:

　　　　　　　　7分

       　　解得    a-1<x<2a-1.    　10分

       　　综上，当a>1时,不等式的解集为｛x│x>2a-1｝;

      　　　　　当0<a<1时,不等式的解集为｛x│a-1<x<2a-1｝.    11分

(21)本小题主要考查等比数列的基础知识,逻辑推理能力和运算能力.满分12分.

       解:若q=1,则有S₃=3a₁,S₆=6a₁,S₉=9a₁.但a₁≠0,即得S₃+S₆≠2S₉,与题设矛盾,故q≠1.     2分

       　　又依题意S₃+S₆=2S₉可得

　　　　a₁(1-q³)/(1-q)+a₁(1-q⁶)/(1-q)=2a₁(1-q⁹)/(1-q)

       　　整理得q³(2q⁶-q³-1)=0.

       　　由q≠0得方程    2q⁶-q³-1=0.

      　　(2q³+1)(q³-1)=0,    9分

      　　 ∵    q≠1,q³-1≠0,   

      　　 ∴　2q³+1=0,

　　　  ∴　 q=-/2

(22)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算能力.满分12分.

        解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°.    2分

　　　　　 ∵   －/cos60°=－2

　　　　　 ∴　1/cosA+1/cosC=－2

　　　　　将上式化为　cosA+cosC=－2cosAcosC

        　　　利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

　　　　　2cos{(A+C)/2}cos{(A-C)/2}=－{cos(A+C)+cos(A-C)}　　  6分

　　　　　

　　　　　　
　　　　　　　代入上式并整理得

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　

　　    　　∴　

        解法二:由题设条件知    B=60°,A+C=120°.

　　　　　设α=A-C/2　则A-C=2α,　可得A=60°+α, C=60°-α    3分

　　　　　所以　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

　　　　　　　　依题得

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　

　　　　　
　　　　　  ∴　2cosα=0

　　　　　从而得：　


(23)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

       (Ⅰ)②∵BE:CF=1:2,

                  ∴DC=2DB,

                 ∴DB=BC,    1分

              ③∵△ABD是等腰三角形,

                  且∠ABD=120°,

                  ∴∠BAD=30°,

                  ∴∠CAD=90°,    3分

              ④∵FC⊥面ACD,

                  ∴CA是FA在面ACD上的射影,

                  且CA⊥AD,    5分

              ⑤∵FA∩AC=A,

　　　　　DA⊥面ACF，DA面ADF　　
　　
                 ∴面ADF⊥面ACF.    7分

         (Ⅱ)解:　∵V_A1-AEF=V_E-AA1F

　　　　　在面A1B1C1内作B₁G⊥A₁C₁,垂足为G.

　　　　　BG＝a/2

                 　面A₁B₁C₁⊥面A₁C,

　　　　　∴B₁G⊥面A₁C,

　　　　　∵E∈BB₁,而BB₁∥面A₁C,

　　　　　∴三棱柱的高为a/2　　9分

　　　　　S_△AA1F=AA1·AC/2=a²/2　10分

　　　　　∴V_A1-AEF=V_E-AA1F=a⁴/4　12分


(24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似

        计算的方法和能力.满分10分.

        解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为p人,粮食单产为M吨／公顷.

               依题意得不等式

　　　　M(1+22%)(10^4--10x)/P(1+10%)¹⁰≥M·10⁴·(1+10%)/P

　　　　化简得x≤　

　　　　

　　　　∴x≤4(公顷)

　　　　 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.    10分

(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　解：依题设：l₁、l₂都存在，因为l₁过点p 且与双曲线有两个交点,故方程组

　　　　　　　①　　1分
　　　
　　　　有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得

　　　　(k₁²-1)x²+2k₁²x+2k₁²-1=0　②

　　　　若(k₁²-1)＝0,则方程①只有一个解，则l₁与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故(k₁²-1)≠0，

　　　　｜k₁｜＝1.方程②的判别式为△₁=(2k₁²)²-4(k₁²-1)(2k₁²-1)=4(3k₁²-1)

　　　　设l₂的斜率为k₂ ,因为l₂过点p 且与双曲线有两个交点,故方程组

     　　　　　③

　　　　有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得

　　　　(k₂²-1)x²+2k₂²x+2k₂²-1=0　④

　　　　同理有(k₂²-1)≠0,　△₂=4(3k₂²-1)

　　　　又因为l1⊥l2,所以有k₁·k₂=-1    4分

         　　于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于

　　　　

　　　　解得　　6分

　　　　∴　k₁∈(-,-1)∪(-1,-/3)∪(-/3,1)∪(1,)　　7分

       　 (Ⅱ)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)时,有

　　　　　k₁(0+)=1,　解得k₁＝/2.　从而k₂＝－/k₁=-.　8分

　　　　　将k₂=-代入方程④得　x²+4x+3=0　⑤

        　　　记l₂与双曲线的两交点为A₂(x₁,y₁)、B₂(x₂,y₂),则

       　　　│A₂B₂│² =(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=3(x₁-x₂)2=3[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].

　　　　　由⑤知x₁+x₂=－4　x₁x₂＝3　

　　　　　∴　│A₂B₂│² ＝60，│A₂B₂│＝2　　　11分

        　　　当取A1(0,-1)时,由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性,知　│A₂B₂│＝2　

　　　　　所以l₁过双曲线的一个顶点时，│A₂B₂│＝2　　12分