1993年试题(理工农医类)答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)A (9)A
(10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
(19)2 (20)17.3 (21)4186
三、解答题。
(25)本小题考查对数函数的概念及性质，不等式的解法。
解：原不等式等价于：
， 解得：
所以原不等式的解集为：{x|0＜x＜1}∪{x|4＜x＜5}。
(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力。
解：(Ⅰ)l∥A1C1。证明如下：
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1，直线l=平面A1BC1∩平面ABC。
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1。
(Ⅱ)解法一：
过点A1作A1E⊥l于E，则A1E的长为点A1到l的距离。
连结AE。由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC。
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又l在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有：AE⊥l。
由棱柱的定义知A1C1∥AC，又l∥A1C1，
∵l∥AC。
作BD⊥AC于D，则BD是Rt△ABC斜边AC上的高，且BD=AE，
从而AE=BD=(AB×BC)/AC=(4×3)/5=12/5，
在Rt△A1AE中，
∵A1A=1，∠A1AE=90°，
∴A1E=
=(12/5)2+12=13/5，
故A1到直线的距离为13/5。
解法二：
同解法一得l∥AC。
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE，从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE：BC=AB：AC，
∴AE=(AB×BC)/AC，
以下同解法一。
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力。
解法一：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴。
设所求椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1，分别计M、N、P点的坐标为(-c，0)、(c，0)和(x0，y0)。
∵tgα=tg(π-∠N)=2，
∴由题设知
解得
即P((5/3)c，(4/3)c)
解法二：
同解法一得c=
/2，即P(5/6，2/3)，
∵点P在椭圆上，且a2=b2+c2，
∴
解得b2=3，或b2=-1/3(舍去)。
a2=b2+c2=15/4
故所求椭圆方程为4x2/15+y2/3=1。
(28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力。
解：
|ω|=|tg2θ|·|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=/3。
因0＜θ＜π，故有
(Ⅰ)tg2θ=/3时，得θ=π/12或θ=7π/12，这时都有
ω=/3(cosπ/6+isinπ/6)，
得argω=π/6＜π/2，适合题意。
(Ⅱ)当tg2θ=-/3时，得θ=5π/12或θ=11π/12，这时都有
ω=/3(cos11π/6+isin11π/6)，
得argω=11π/6＞π/2，有合题意，舍去。
综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知θ=π/12或θ=7π/12。
(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系，绝对值不等式的性质和证明；逻辑推理能力和分析
问题、解决问题的能力。
证法一：
依题设，二次方程有两个实根α，β，所以判别式△=a2-4b≥0。
不妨取α=1/2(-a-
)，β==1/2(-a+)
(Ⅰ)∵ α＜2，β＜2。
∴b=|αβ|=|α|·|β|＜4
且-2＜1/2(-a-)＜1/2(-a+)＜2
0≤＜4-a，0≤＜4+a
平方得 a2-4b＜16-8a+a2，a2-4b＜16+8a+a2，
由此得 -4(4+b)＜8a＜4(4+b)，
∴2│a│＜4+b。
(Ⅱ)∵2│a│＜4+b，│b│＜4，
∴|a|=1/2(4+|b|)＜4
4±a＞0；
且 △=a2-4b＜a2-4(2│a│-4)
=a2±8a+16=(4±a)2，
又 △≥0，
∴＜4±a
得-4＜-a-≤-a+＜4，
∴ -2＜α≤β＜2，
得 │α│＜2，│β│＜2。
证法二：
(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│＜4。
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上，│α│＜2，│β│＜2。
故必有f(±2)＞0，
即4+2a+b＞0，2a＞-(4+b);
4-2a+b＞0，2a＜4+b。
∴2│a│＜4+b。
(Ⅱ)由2│a│＜4+b得4+2a+b＞0即22+2a+b＞0，f(2)＞0。 ①
及4-2a+b＞0即(-2)2+(-2)a+b＞0，f(-2)＞0。 ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2，2)之内或者在(-2，2)之外。若两根α，β均
落在(-2，2)之外，则与│b│=│αβ│＜4矛盾。
若α(或β)落在(-2，2)外，则由于│b│=│αβ│＜4，另一个根β(或α)必须落在(-2，
2)内，则与①、②式矛盾。
综上所述α，β均落在(-2，2)内。
∴│α│＜2，│β│＜2。